题文
．．（本小题满分14分）定义在
上的函数
，如果满足；对任意
，存在常数
，都有
成立，则称
是
上的有界函数，其中
称为函数
的上界.已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求函数
在
上的值域，并判断函数
在
上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若
是
上的有界函数，且
的上界为3，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，求函数
在
上的上界
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）当
时，
.
∵
在
上递增，所以
，
即
在
上的值域为
. …………………………… 2分
故不存在常数
，使
成立.
所以函数
在
上不是有界函数.………………………… 4分
（Ⅱ）∵函数
在
上是以3为上界的有界函数，
在
上恒成立.
,
在
上恒成立.
…………………………………… 6分
设
，
，
.
由
,得
.设
，则
，
，
所以
在
上递增，
在
上递减.
在
上的最大值为
，
在
上的最小值为
.
所以实数
的取值范围为
. ……………………………………… 9分
（Ⅲ）解法一:
，
.
∵
，
,
.
∴
，
∵
∴
. …………………………………………… 11分
①当
即
时，
，此时
；
②当
即
时，
，此时
.
综上所述，当
时，
的取值范围是
；
当
时，
的取值范围是
………… 14分
解法二：
.令
，因为
，所以
.
.
因为
在
上是减函数，所以
.………… 11分
又因为函数
在
上的上界是
，所以
.
①当
即
时，
；
②当
即
时，
.…………… 14分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“．．（本小题满分14分）定义在上的函数，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
