题文
已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆的左右焦点，
；
分别为椭圆的长轴和短轴的端点(如图) .若四边形
的面积为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程.
（Ⅱ）抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，过点
任意作一条直线
，交抛物线
于
两点. 证明：以
为直径的所有圆是否过抛物线
上一定点.
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(1)根据题意设椭圆方程为
,
由已知
,
,则
，又
,
，
，
所求的椭圆方程为
. ….…6分
(2) 根据题意知抛物线方程为:
，设满足题意的点为
，
设
其
中
，因为
是直径，所以
，
，
整理为：
…… ……（※）
同时，
整理为：
代入点
得：
即
有：
,将其代入（※）式中整理为：
显然
时上式恒成立, 进而算得
，所以
为定点
，从而说明满足题意的存在为
. 当直线
垂直于
轴时,易求得以
为直径的圆为
，同样可检验其经过
. ….…15分
方法二：（2）设
设直线AB的方程为
，与
联立消
有
,
，
以AB为直径的圆的方程为
，即
，代入，有
，
即
，
令
. ……15分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知椭圆的离心率为，为椭圆的左右焦点，；.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
