题文
已知函数
，且定义域为（0，2）.
(1）求关于x的方程
+3在（0，2）上的解；
（2）若
是定义域(0，2)上的单调函数，求实数
的取值范围；
（3）若关于x的方程
在（0，2）上有两个不同的解
，求k的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1）
（2）
（3）
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解析
本试题主要是考查了函数与方程的思想的综合运用。（1）
,
+3即
，对于定义域分段讨论得到解的情况。
（2）因为
是定义域(0，2)上的单调函数，结合函数与图像的关系式得到结论。
（3）关于x的方程
在（0，2）上有两个不同的解
，那么借助于图像得到结论。
解（1）
,
+3即
当
时，
，此时该方程无解. ……1分
当
时，
，原方程等价于：
此时该方程的解为
.
综上可知：方程
+3在（0，2）上的解为
.……3分
（2）
，
………4分
，…………5分
可得：若
是单调递增函数，则
…6分
若
是单调递减函数，则
，………7分
综上可知：
是单调函数时
的取值范围为
.…8分
（2）[解法一]：当
时，
，①
当
时，
，②
若k=0则①无解，②的解为
故
不合题意。…………9分
若
则①的解为
，
（Ⅰ）当
时，
时，方程②中
故方程②中一根在（1，2）内另一根不在（1，2）内，…………10分
设
，而
则
又
，故
，………11分
（Ⅱ）当
时，即
或
0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，12分
而
，知方程②必有负根，不合题意。……13分
综上所述，
………14分
[略解法二]
，………9分
,
………10分
分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图象法做，必须画出草图，再用必要文字说明）……………13分
利用该分段函数的图象得
……………………14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，且定义域为（0，2）.(1）求.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
