题文
（本小题满分12分）已知函数
（
为常数）。
（Ⅰ）函数
的图象在点（
）处的切线与函数
的图象相切，求实数
的值；
（Ⅱ）设
，若函数
在定义域上存在单调减区间，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）若
，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
，
，都有
成立，求
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习
解析
（Ⅰ）因为
，所以
，因此
，
所以函数
的图象在点（
）处的切线方程为
， ……1分
由
得
，
由
，得
. ……3分
（Ⅱ）因为
，
所以
，
由题意知
在
上有解，
因为
，设
，因为
，
则只要
，解得
，
所以b的取值范围是
. ……6分
（Ⅲ）不妨设
，
因为函数
在区间[1,2]上是增函数，所以
，
函数
图象的对称轴为
，且
。
（i）当
时，函数
在区间[1,2]上是减函数，所以
，
所以
等价于
，
即
，
等价于
在区间[1,2]上是增函数，
等价于
在区间[1,2]上恒成立，
等价于
在区间[1,2]上恒成立，
所以
，又
，
所以
. ……8分
（ii）当
时，函数
在区间[1, b]上是减函数，在
上为增函数。
① 当
时，
等价于
，
等价于
在区间[1,b]上是增函数，
等价于
在区间[1,b]上恒成立，
等价于
在区间[1,b]上恒成立，
所以
，又
，所以
②当
时，
等价于
，
等价于
在区间[b,2]上是增函数，
等价于
在区间[b,2]上恒成立，
等价于
在区间[b,2]上恒成立，
所以
，故
，
③当
时，
由
图像的对称性知，
只要
对于①②同时成立，
那么对于③，则存在
，
使
=
恒成立；
或存在
，
使
=
恒成立，
因此
，
综上，b的取值范围是
. ……12分
点评：导数是研究函数的一个有力的工具，研究函数时，不要忘记考查函数的定义域.另外恒成立问题一般转化成求最值问题解决.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数（为常数）。.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
