题文
设函数
的定义域为
，对任意的实数
都有
；当
时，
，且
.（1）判断并证明
在
上的单调性；
（2）若数列
满足：
，且
，证明：对任意的
，
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）单调递增（2）
，再利用
.
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解析
（1）
在
上单调递增，证明如下： 设任意
，且
，∵
，∴
，∴
即
，∴
在
上单调递增.
（2）在
中，令
，得
.令
，
得
，∴
.令
，得
，即
下面用数学归纳法证明：
①当
时，
，不等式成立；
②假设当
时，不等式成立，即
，则∵
在
上单调递增，
∴
，∴
，即当
时不等式也成立.
综上①②，由数学归纳法原理可知对任意的
，
点评：本题考查函数的单调性，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
考点
据考高分专家说，试题“设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
