已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．求f(x)和g(x)的解析式；若h(x)＝

题文

已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．
（1）求f(x)和g(x)的解析式；
（2）若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)＝x²＋2x. g(x)＝－x²＋2x
（2）(－∞，0]

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解析

(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax²＋2ax(a>0)．
f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，
即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x²＋2x.
∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x²＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x²＋2x－λ(－x²＋2x)＝(λ＋1)x²＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝

，
则

≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理需

≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
点评：主要是考查了待定系数法求解函数解析式，以及二次函数性质的运用，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.