设函数. (1) 试问函数f(x)能否在x= 时取得极值？说明理由；(2) 若a= ，当x∈［,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围

题文

设函数



.
(1) 试问函数f(x)能否在x=

时取得极值？说明理由；
(2) 若a=

，当x∈［

,4］时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求c的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)在x=-1处无极值.  （2）

或c=

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解析

解：（1） 由题意f′(x)=x²-2ax-a，
假设在x= -1时f(x)取得极值，则有f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1，
而此时,f′(x)=x²+2x+1=(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值.
这与f(x)在x=-1有极值矛盾，所以f(x)在x=-1处无极值.
（2） 设f(x)=g(x)，则有

x³-x²-3x-c=0，∴c=

x³-x²-3x,
设F(x)=

x³-x²-3x,G(x)=c，令F′(x)=x²-2x-3=0,解得x₁=-1或x=3.
列表如下：
x
-3
(-3,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,4)
4
F′(x)
 
+
0
-
0
+
 
F(x)
-9
增



减
-9
增


-


由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数，在(-1,3)上是减函数.
当x=-1时，F(x)取得极大值

；当x=3时，F(x)取得极小值
F(-3)=F(3)=-9，而

.
如果函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，
所以

或c=


点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数极值中的运用，属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“设函数. (1) 试问函数f(x)能否在.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.