题文
已知函数
（
，
），
．
（1）求函数
的单调区间,并确定其零点个数；
（2）若
在其定义域内单调递增，求
的取值范围；
（3）证明不等式
（
）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当
时，
为
的减区间，
为
的增区间，
有且只有一个零点；当
时，
为
的增区间，
为
的减区间，
有且只有一个零点.
（2）
（3）由（2）可知 当
时，
在
内单调递增，
而
所以当
时，
即
放缩法来得到。
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解析
解：（1）
1分
则
2分
（i）若
，则当
时，
；当
时，
所以
为
的增区间，
为
的减区间. 3分
极大值为
所以
只有一个零点
.
（ii）若
，则当
时，
；当
时，
所以
为
的减区间，
为
的增区间.
极小值为
4分
所以
只有一个零点
.
综上所述，
当
时，
为
的减区间，
为
的增区间，
有且只有一个零点；
当
时，
为
的增区间，
为
的减区间，
有且只有一个零点.
5分
（2）
6分
由
在其定义域内单调递增，可知
,
恒成立.
则
恒成立. 7分
(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点
)可得
或
8分
则
或
则
或
得
.
可以验证 当
时
在其定义域
内单调递增
故
. 9分
(法二)分离变量
因
（当且仅当
，即
时取到等号） 8分
所以
， 则
.
可以验证 当
时
在其定义域
内单调递增
故
9分
（3）由（2）可知 当
时，
在
内单调递增，
而
所以当
时，
即
10分
令
，
则
11分
则
所以
，
， ,
,
,
以上
个式子累加可得
12分
则
则
13分
则
故
（
）． 14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数与不等式中的运用，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（，），．（1）求函数的单调区间.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
