题文
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）的最小值为
；（Ⅱ）
.
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解析
（Ⅰ）注意到分式中分母之间的关系
，在分式上乘以
并展开，利用基本不等式可以求出函数
的最小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，将不等式
等价转化为
，求出
的取值范围即可.
试题解析：（Ⅰ）因为
，且
，所以
，由柯西不等式
，
当且仅当
，即
时取等号，
∴
的最小值为
． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
的最小值为
，由题意可得
，∴
，
则实数
的取值范围为
． 7分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若恒成.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
