题文
已知函数
（I）求函数
的极值；
（II）对于函数
和
定义域内的任意实数
,若存在常数
,使得不等式
和
都成立,则称直线
是函数
和
的“分界线”．
设函数
，
，试问函数
和
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程．若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
,
无极大值；（II）函数
和
存在“分界线”，方程为
．
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解析
（I）首先求函数
的定义域，解方程
得
可能的极值点，进一步得
的单调性，最后根据导函数在零点附近的变号情况求
的极值；（II）函数
和
的图象在
处有公共点
.设函数
和
存在“分界线”，方程为
，由
对任意
恒成立，确定常数
，从而得“分界线”的方程为
，再证明
在
时也恒成立，最后确定函数
和
的“分界线”就是直线
．
试题解析：（I）
．
令
得
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增，
又
，
所以
,
无极大值.
（II）由（I）知
，
所以函数
和
的图象在
处有公共点
.
设函数
和
存在“分界线”，方程为
，
应有
对任意
恒成立，即
在
时恒成立，
于是
，得
，
则“分界线”的方程为
．
记
，则
令
得
，所以
在
上单调递增，
上单调递减，
当
时，函数
取得最大值
，即
在
时恒成立.
综上所述，函数
和
存在“分界线”，方程为
……
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（I）求函数的极值；（II）对于.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
