题文
已知函数
，
（1）若曲线
与
在公共点
处有相同的切线，求实数
、
的值；
（2）当
时，若曲线
与
在公共点
处有相同的切线，求证：点
唯一；
（3）若
，
，且曲线
与
总存在公切线，求正实数
的最小值 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）详见解析；（3）正实数
的最小值为1
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解析
（1）求实数
、
的值，因为曲线
与
在公共点
处有相同的切线，由导数的几何意义可得，
，解出即可；（2）当
时，若曲线
与
在公共点
处有相同的切线，求证：点
唯一，可设
，由题设得
，
，转化为关于
的方程
只有一解，进而构造函数，转化为函数只有一个零点，可利用导数即可证明；（3）设曲线
在点
处的切线方程为
，则只需使该切线
相切即可，也即方程组
只有一解即可，所以消
后
，问题转化关于
的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得
值最小值
试题解析：（1）
，
∵曲线
与
在公共点
处有相同的切线∴
， 解得，
3分
（2）设
，则由题设有
①又在点
有共同的切线
∴
代入①得
5分
设
，则
，
∴
在
上单调递增，所以
＝0最多只有
个实根，
从而，结合（1）可知，满足题设的点
只能是
7分
（3）当
，
时，
，
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
由
，得
∵ 曲线
与
总存在公切线，∴ 关于
的方程
，
即
总有解 9分
若
，则
，而
，显然
不成立，所以
10分
从而，方程
可化为
令
，则
∴ 当
时，
；当
时，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增 ∴
在
的最小值为
，
所以，要使方程
有解，只须
，即
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，（1）若曲线与在公共点处有相同.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
