证明方程6-3x=2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解。

题文

答案

证明：设函数f(x)=2^x+3x-6，因为f(1)=-1＜0，f(2)=4＞0，所以f(1)·f(2)＜0，
又因为f(x)在R上连续且是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一的零点，
所以方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解。
设此解为x₀，则x₀∈[1，2]，
取x₁=1.5，f(1.5)≈1.33＞0，f(1)·f(1.5)＜0，所以x₀∈(1，1.5)；
取x₂=1.25，f(1.25)≈0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1，1.25)；
取x₃=1.125，f(1.125)≈-0.44＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.125，1.25)；
取x₄=1.187 5，f(1.187 5)≈-0.16＜0，f(1.187 5)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.187 5，1.25)；
因为|1.25-1.187 5|=0.062 5＜0.1，所以可取x₀=1.187 5，
即方程6-3x=2^x的实数解的近似值可取为1.187 5。

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解析

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考点

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x₁；
（3）计算f（x₁），
①若f（x₁）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x₁）＜0，则令b=x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；
③若f（x₁）·f（b）＜0，则令a=x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x₀，则a00对应的点，如图，所以00-a0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x₀ -a|0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x₀的近似值都达到给定的精确度ε


    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.