已知函数， 判断并证明f的奇偶性； 若关于x的方程f=log2有实根，求实数k的取值范围；问：方程f=x+1

题文

已知函数

，
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：方程f（x）=x+1是否有实根？如果有，设为x₀，请求出一个长度为

的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由。
（注：区间（a，b）的长度为b-a） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由

，得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；
因为f（-x）+f（x）=log₂

+log₂

=log₂

=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），
即f（x）是奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，
也就是方程

=x-k，即k=x-

在（-1，1）内有解，
所以实数k属于函数y=x-

=x+1-

在（-1，1）内的值域。
令x+1=t，则t∈（0，2），
因为y=t-

在（0，2）内单调递增，
所以t-

∈（-∞，1），
故实数k的取值范围是（-∞，1）；
（3）设g（x）=f（x）-x-1=log₂

-x-1（-1＜x＜1），
用“二分法”逐步探求，先算区间（-1，1）的中点g（0）=-1＜0；
由于g（x）在（-1，1）内单调递减，
于是再算区间（-1，0）的中点g（-

）=log₂3-

＞0；
然后算区间（-

，0）的中点 g（-

）＜0；
最后算区间（-

，-

）的中点g（-

）＞0，
所以g（-

）·g（-

）＜0，
所以函数g（x）在区间（-

，-

）内有零点x₀，
即方程f（x）=x+1在（-

，-

）内有实根x₀，
又该区间长度为

，
因此，所求的一个区间可以是（-

，-

）。
（答案不唯一）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数， （1）判断并证明f（x.....”主要考查你对 [用二分法求函数零点的近似值 ]考点的理解。 用二分法求函数零点的近似值

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x₁；
（3）计算f（x₁），
①若f（x₁）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x₁）＜0，则令b=x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；
③若f（x₁）·f（b）＜0，则令a=x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x₀，则a00对应的点，如图，所以00-a0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x₀ -a|0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x₀的近似值都达到给定的精确度ε


    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.