已知函数f=a|x|+。若a＞1，且关于x的方程f=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；设函数g=f

题文

已知函数f（x）=a^|x|₊

（a＞0，a≠1）。
（1）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关，试求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）令

，
因为a>1，所以t>1，
所以关于x的方程

有两个不同的正数解等价于关于t的方程

有相异的且均大于1的两根，即关于t的方程

有相异的且均大于1的两根，
所以

，
解得

，故实数m的取值范围为区间

；
（2）


①当a>1时，
a）x≥0时，

，

，
所以

，
b）

时，

，
所以

，
ⅰ当

即

时，对

，
所以g（x）在

上递增，
所以

，
综合a） b）g（x）有最小值为

与a有关，不符合，
ⅱ当

即

时，由

得

，
且当

时，

，
当

时，

，
所以g（x）在

上递减，在

上递增，
所以

，
综合a） b）g（x）有最小值为

与a无关，符合要求，
②当

时，
a）x≥0时，

，
所以


b）

时，

，
所以

，g（x）在

上递减，
所以

，
综合a） b）g（x）有最大值为

与a有关，不符合，
综上所述，实数a的取值范围是

。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a|x|+（a＞.....”主要考查你对 [用二分法求函数零点的近似值 ]考点的理解。 用二分法求函数零点的近似值

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x₁；
（3）计算f（x₁），
①若f（x₁）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x₁）＜0，则令b=x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；
③若f（x₁）·f（b）＜0，则令a=x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x₀，则a00对应的点，如图，所以00-a0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x₀ -a|0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x₀的近似值都达到给定的精确度ε


    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.