利用二分法求3的一个近似值．

题文

利用二分法求3的一个近似值（精确度为0.01）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令f（x）=x²-3．因为f（1）=-2＜0，f（2）=1＞0，所以方程x²-3=0在区间[1，2]上有实数解，如此下去，得到方程x²-3=0的有解区间如下表：
次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1-2211第2次1.5-0.75210.5第3次1.5-0.751.750.06250.25第4次1.625-0.3593751.750.06250.125第5次1.6875-0.152343751.750.06250.0625第6次1.71875-0.0458984371.750.06250.03125第7次1.71875-0.0458984371.7343750.008056640630.015625第8次1.7265625-0.0189819331.7343750.008056640630.0078125至此，我们得到，区间[1.7265625，1.734375]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x²-3=0的一个近似解．例如，可以选取1.73作为方程x²-3=0的一个近似解．即1.73为满足精确度0.01的3的近似值．

点击查看用二分法求函数零点的近似值知识点讲解,巩固学习

解析

次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1-2211第2次1.5-0.75210.5第3次1.5-0.751.750.06250.25第4次1.625-0.3593751.750.06250.125第5次1.6875-0.152343751.750.06250.0625第6次1.71875-0.0458984371.750.06250.03125第7次1.71875-0.0458984371.7343750.008056640630.015625第8次1.7265625-0.0189819331.7343750.008056640630.0078125

考点

据考高分专家说，试题“利用二分法求3的一个近似值（精确度为0......”主要考查你对 [用二分法求函数零点的近似值 ]考点的理解。 用二分法求函数零点的近似值

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x₁；
（3）计算f（x₁），
①若f（x₁）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x₁）＜0，则令b=x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；
③若f（x₁）·f（b）＜0，则令a=x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x₀，则a00对应的点，如图，所以00-a0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x₀ -a|0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x₀的近似值都达到给定的精确度ε


    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.