用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一个近似解x=x0的问题．若借助计算器，算得第一次：f＜0，f＞0⇒x0∈______；第二次：____

题文

用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一个近似解x=x₀的问题．
（1）若借助计算器，算得
第一次：f（2）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈______；
第二次：______；
第三次：f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
第六次：f（2.53125）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.53125，2.5625）；
…
（2）若精确度为0.1，至少需算______次，近似解x₀=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）第一次：∵f（2）•f（3）＜0，∴x₀∈（2，3）；
第二次：取x=2+32=2.5，∵f（2.5）•f（3）＜0，∴x₀∈（2.5，3）；
第三次：取x=2.5+32=2.75，由f（2.5）＜0，f（2.75）＞0⇒x₀∈（2.5，2.75）；
第四次：取x=2.5+2.752=2.625，由f（2.5）＜0，f（2.625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.625）；
第五次：取x=2.5+2.6252=2.5625，由f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0⇒x₀∈（2.5，2.5625）；
（2）当区间长度为：2.5625-2.5=0.0625＜0.1时，精确度为0.1；
∴至少需算5次，此时近似解x₀=2.5625；
故答案为：（2，3），f（2.5）＜0，f（3）＞0⇒x₀∈（2.5，3）；
5，2.5625．

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解析

2+32

考点

据考高分专家说，试题“用二分法研究方程lnx+2x-6=0的一.....”主要考查你对 [用二分法求函数零点的近似值 ]考点的理解。 用二分法求函数零点的近似值

二分法的定义：

对于区间[a，b]上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似解的方法叫做二分法。

给定精确度ξ，用二分法求函数f（x）的零点的近似值的步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ξ；
（2）求区间（a，b）的中点x₁；
（3）计算f（x₁），
①若f（x₁）=0，则就是函数的零点；
②若f（a）·f（x₁）＜0，则令b=x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；
③若f（x₁）·f（b）＜0，则令a=x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））；
（4）判断是否达到精确度ξ，即若|a-b|＜ξ，则达到零点近似值a（或b）；否则重复（2）-（4）。

利用二分法求方程的近似解的特点：

(1)二分法的优点是思考方法非常简明，缺点是为了提高解的精确度，求解的过程比较长，有些计算不用计算工具甚至无法实施，往往需要借助于科学计算器．
(2)二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法，它只要求函数是连续的，因此它的使用范围很广，并便于在计算机上实现，但是它不能求重根，也不能求虚根。

 关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：

①第一步中要使区间长度尽量小，f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a).f(b)<0；
②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=f（x）-g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根；
③设函数的零点为x₀，则a00对应的点，如图，所以00-a0-b<0．由于|a -b|<ε，所以|x₀ -a|0 -b|<|a -b|<ε即a或b作为函数的零点x₀的近似值都达到给定的精确度ε


    
④我们可用二分法求方程的近似解．由于计算量大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.