(15分)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v0时

题文

(15分)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为s，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小为a的加速度从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点，整个过程中球一直保持在球拍中心不动，比赛中，该同学在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示，设球在运动中受到空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。求：



⑴空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
⑵加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
⑶整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。

题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴k＝

；⑵tanθ＝

＋

；⑶sinβ≤

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解析

⑴在匀速运动阶段，球受重力mg、球拍的支持力N₀，和空气阻力f₀作用，根据共点力平衡条件有：f₀＝mgtanθ₀               ①
根据题意有：f₀＝kv₀            ②
由①②两式联立解得：k＝

              ③
⑵在加速阶段，球受重力mg、球拍的支持力N，和空气阻力f作用，在竖直方向上有：Ncosθ＝mg ④
在水平方向上，根据牛顿第二定律有：Nsinθ－f＝ma              ⑤
根据题意有：f＝kv             ⑥
由③④⑤⑥式联立解得：tanθ＝

＋


⑶以速度v₀匀速运动，而球拍的倾角为θ₀＋β，并保持不变时，设空气阻力f₀与重力mg的合力为F，方向仍然与水平方向成

－θ₀斜向后下方，因此有：F＝

         ⑦
设球沿球拍面下滑的加速度大小为a′，根据牛顿第二定律有：Fsinβ＝ma′            ⑧
设匀加速运动的位移为s₁，根据匀变速直线运动规律有：s₁＝

         ⑨
根据几何关系可知，匀速运动的位移为：s₂＝s－s₁          ⑩
根据匀速运动规律可知，匀速运动阶段的时间为：t＝

           ⑪
球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落的条件为：

≤r           ⑫
由⑦⑧⑨⑩⑪⑫式联立解得：sinβ≤

考点

据考高分专家说，试题“(15分)某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道.....”主要考查你对 [匀变速直线运动 ]考点的理解。

匀变速直线运动

定义：
在任意相等的时间内速度的变化相等的直线运动，即加速度恒定的变速直线运动叫匀变速直线运动。

特点：
a=恒量。

匀变速直线运动规律(基本公式)：
速度公式：v=

位移公式：x=
速度平方公式：
位移公式：x=
速度平方公式：

位移—平均速度关系式：x=

匀变速直线运动的几个重要推论：

1. 在任意两个连续相等的时间间隔内通过的位移之差为一恒量，即：S_Ⅱ－S_Ⅰ＝S_Ⅲ－S_Ⅱ＝…＝S_N－S_N－1＝ΔS＝
   

   匀变速直线运动的几个重要推论：

   1. 在任意两个连续相等的时间间隔内通过的位移之差为一恒量，即：S_Ⅱ－S_Ⅰ＝S_Ⅲ－S_Ⅱ＝…＝S_N－S_N－1＝ΔS＝
      (此公式可以用来判断物体是否做匀变速直线运动)。进一步推论：S_n＋m－S_n＝
      ，其中S_n、S_n＋m分别表示第n段和第(n＋m)段相等时间内的位移，T为相等时间间隔。
   2. 某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，即。
   3. 某段位移中点的瞬时速度等于初速度v₀和末速度v平方和一半的平方根，即v_s/2＝，其中S_n、S_n＋m分别表示第n段和第(n＋m)段相等时间内的位移，T为相等时间间隔。
   4. 某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，即。
   5. 某段位移中点的瞬时速度等于初速度v₀和末速度v平方和一半的平方根，即v_s/2＝
      。

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