已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证：两函

题文

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).
(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

答案见解析

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解析

(1)证明：由

消去y得ax²+2bx+c=0
Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+

c²］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴

c²>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.
(2)解：设方程ax²+bx+c=0的两根为x₁和x₂,则x₁+x₂=－

,x₁x₂=

.
|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂



∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得

∈(－2,－

)
∵

的对称轴方程是

.


∈(－2,－

)时，为减函数
∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈(

).

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。