已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2；当b>1时，证明：对任意x∈[0

题文

已知a>0，函数f(x)=ax-bx²,
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2

；
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2

；
（3）当0 题型：未知难度：其他题型

答案

证明见解析

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解析

（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-

)²+

，∴f(

≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2

。
（2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1

-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1

f(x)≤1，因为b>1，可推出f(

)≤1。即a·

-≤1，∴a≤2

，所以b-1≤a≤2

。
（充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x
≥-1，即：ax-bx²≥-1；因为b>1，a≤2

，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx²≤2

-bx²≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f(x)≤1。
综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2

。
（3）解：因为a>0, 0f(x)=ax-bx²≥-b≥-1，即f(x)≥-1；
f(x)≤1

f(1)≤1

a-b≤1，即a≤b+1；a≤b+1

f(x)≤(b+1)x-bx²≤1，即f(x)≤1。
所以，当a>0, 0

考点

据考高分专家说，试题“已知a>0，函数f(x)=ax-b.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。