题文
已知二次函数![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/45b6fe27bad09824d84fbed4fa613dd6.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，
（1）当
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/e951b798b669b25607e2a1713f79ee25.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
时，
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/4f4343082cfd3e8b7045501c20dc998f.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
在 [ – 1，1 ] 上的最大值为
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/498cbc46a53aaae31e4719ce0f61431b.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，求
的最小值；
（2）对于任意的
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/797b6de23d7c01abc3bc390c92a02064.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，总有
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/7e8397dcc7b67755263438461db69140.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，求a的取值范围；
（3）若当
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/15881bcaa86b37b02df03eea44c54b56.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
时，记
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/bb1f93760ed24c81a7f5b14d0423db44.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，令a = 1，求证：
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/2afea58cfec27866d16464fab6baf191.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/0ef9fc44055ef819a6d5b56438709722.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
（2）
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且
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/de6f6482854fd93adcb0b94777d12443.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
（3）见解析
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解析
(1) 由![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/5709117d6a21912546ba322722bc2ed5.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
知
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/ea01824aa0e9c3a332bc0e367e6d6418.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，当x = 1时，解得最大值为
，即
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/f58b11daae5f07ddb8f270504148308f.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/b1e20a4a7586c197d469d82d8be2bb6e.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/78ea0d736e048c25f0ecb50e9525a8f4.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
(2) 由题意知：当 t = 0时，
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/bc3ee367c088255bfa2b486cae9dd708.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
使
成立
当
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/b788b9507c8520dce72566ce1510d9d3.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
时，有
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/d0c80c6e77bf495ae53fa04cfc408c38.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
对任意的
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/35c212078a1b36a2cf6fd723579ec3e9.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
恒成立
∵
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/3ec07267e72e8b22e321b352d861f8ea.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
或
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/fc188e762642056eb9aa8d380b795fca.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，则
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/934a190c07afcb74b7d4520b4a061a71.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/17342ecd28ba63be06e90a435fa8900b.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
要使①②成立，则
而
，综上所述，
且
(3) 由题意：
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/952c552403ce6ab0236020ef0f172be2.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
令
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/6e7495080acec7819f7d7e7b307e5738.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/ccd49776e1eb8d49af3121b4733cadf4.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/6af85756f6c2a7f505a1d01327355e77.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/0a86e8dfd6dab13fb96e1c59edb7f921.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
在
个
∴
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/04a3236778cbddfe3d436a294924f39e.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
又
![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/952e6643e21df75666256b810cbbb2f4.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
∴原结论成立
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数，（1）当时，在 [ – 1.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（![已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．](https://www.mshxw.com/file/tupian/20220214/20111026165718001.gif "已知二次函数，当时，在 [ – 1，1 ] 上的最大值为，求的最小值；对于任意的，总有，求a的取值范围；若当时，记，令a = 1，求证：成立．")
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
