题文
（12分）二次函数f(x)=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴的两个不同的交点的横坐标分别为x1、x2。（1）证明：(1+x1)(1+x2)=1；
（2）证明：x1＜－1，x2＜－1；
（3）若函数y=xf(x)在区间（－
，－4）
上单调递增，试求a的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析（2）见解析（3）
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解析
（
1）由题意知x1，x2是一元二次方和ax2+x+1=0的两个实根，所以x1+x2=－
，x1x2=
x1+x2=－x1x2，所以（1+x1）（1+x2）=1
（2）由方程ax2+x+1=0(a＞0)的判别式
=1－4a＞0，解得0＜a＜
.
所以y=ax2+x+1=0(a＞0)的图象的对
称轴
x=－
，且f(－1)=a＞0
所以二次函数y=ax2+x+1(a＞0)的图象与x轴两个交点都在－1点的左侧，
即x1＜－1，x2＜－1
（3）设g(x)=xf(x)=ax3+x2+x(0＜a＜
)，
∴g’(x)=3ax2+2x+1＞0对x
(－
，－4)恒成立，
∴3a＞
=－(
)2+1
又当x
（－
，－4）时，－(
)2+1＜
∴a≥
，∴
考点
据考高分专家说，试题“（12分）二次函数f(x)=ax2+x+.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
