题文
（本小题满分14分）已知函数
=
(1) 若
存在单调增区间，求
的取值范围；
（2）是否存在实数
>0，使得方程
在区间
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出
的取值范围？若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞)（2）
, 所以a的取值范围是(1,
)
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解析
答：（1）由已知，得h(x)=
且x>0, …………………...1f
则hˊ(x)=ax+2-
=
,…………………………………………………2f
∵函数h(x)存在单调递增区间,
∴hˊ(x)>0有解, 且解满足
……………………….……3f
即不等式ax2+2x-1>0有满足
……………………..……4f
当a<0时, y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ="4+4a>0," 即a>-1. 即-1当a>0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-1≥0 一定有x>0的解. …………………………………………………………………………….……...6f
综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….……. 7f
解法二、同解法一…….
即不等式ax2+2x-1>0有满足
……………………….……4f
即
有解……………………………………………………….5f
令
的最小值为
……………………………………..……6f
结合题设得a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………… 7f
解法三、同解法一……….
即不等式ax2+2x-1>0有满足
……………………..……4f
(1)当
,
，ax2+2x-1>0没有符合条解………………………5f
(2)当
，方程
的两根是
，此时，区间
是所求的增区间。.
………………………………………………………………………………………………6f
当
，方程
的两根是，
，区间
为所求的增区
综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….……. 7f
（2）解法一、方程
即为
等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx="0" . ………………………………………………….. 8f
设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间(
)内根的问题, 转化为函数H(x)在区间(
)内的零点问题………………………………………………………………….... 9f
Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-
=
……….….….10f
当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0, H(x)是减函数； 当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0, H(x)是增函数；
若H(x)在(
)内有且只有两个不相等的零点, 只须
……………..…13f
解得
, 所以a的取值范围是(1,
) …………………… …..14f
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数=(1) 若.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
