题文
（本题满分14分）已知函数
，其中
.定义数列
如下：
，
.
（I）当
时，求
的值；
（II）是否存在实数m，使
构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数
的值，若不存在，请说明理由；
（III）求证：当
时，总能找到
，使得
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
，
，
.
(2)
(3) 略
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解析
解：（Ｉ）因为，
，所以
，
，
. …………4分
（II）方法一：假设存在实数
，使得
构成公差不为0的等差数列.
由（I）得到
，
，
.因为
成等差数列，
所以
， …………6分
所以，
， 化简得
，
解得
（舍）,
. …………8分
经检验，此时
的公差不为0，
所以存在
，使
构成公差不为0的等差数列. …………9分
方法二：因为
成等差数列，
所以
， …………6分
即
，
所以
，即
.
因为
，所以
解得
. …………8分
经检验，此时
的公差不为0.
所以存在
，使
构成公差不为0的等差数列. …………9分
（III）因为
,
又
, 所以令
.
由
，
，
……
，将上述不等式全部相加得
，即
，
因此只需取正整数
，就有
.………14分
考点
据考高分专家说，试题“ （本题满分14分）已知函数，其中.定义.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
