题文
．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设二次函数
，对任意实数
，有
恒成立；数列
满足
.
（1）求函数
的解析式和值域；
（2）试写出一个区间
，使得当
时，数列
在这个区间上是递增数列，
并说明理由；
（3）已知
，是否存在非零整数
，使得对任意
，都有
恒成立，若存在，
求之；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由恒成立等价于
恒成立……1分
从而得：
，化简得
，从而得
，
所以
，………3分
其值域为
.………………………………………………4分
（2）解：当
时，数列
在这个区间上是递增数列，证明如下：
设
，则
，
所以对一切
，均有
；………………………………………7分
，从而得
，即
，
所以数列
在区间
上是递增数列.………10分
注：本题的区间也可以是
、
、
等无穷多个.
另解：若数列
在某个区间上是递增数列，则
即
…7分
又当
时，
，
所以对一切
，均有
且
，
所以数列
在区间
上是递增数列.…………………10分
（3）（文科）由（2）知
，从而
；
，
即
； ………12分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，……14分
从而得
，即
，
所以
，
所以
，
所以
， ………………16分
所以
，
. ………………………18分
（3）（理科）由（2）知
，从而
；
，
即
；………12分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，所以数列
是
为首项，公比为
的等比数列，………………………14分
从而得
，
即
，
所以
，
所以
，所以
，
所以，
.…………………………16分
即
，所以，
恒成立
当
为奇数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最小值
为。
当
为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，有最大值
为。
[
∴，对任意
，有
。又
非零
整数，
……………18分
点击查看一次函数的性质与应用知识点讲解,巩固学习
解析
略考点
据考高分专家说，试题“．(本题满分18分)本题共有3个小题，第.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
