题文
（．(本题满分12分)已知二次函数
和“伪二次函数”
（
、
、
），
（I）证明：只要
，无论
取何值，函数
在定义域内不可能总为增函数；
（II）在二次函数
图象上任意取不同两点
，线段
中点的横坐标为
，记直线
的斜率为
，
（
i）求证：
；
（ii）对于“伪二次函数”
，是否有（i）同样的性质?证明你的结论. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（I）如果
为增函数,
则
(1)恒成立,
当
时恒成立,
(2)
由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.
则函数
不可能总为增函数. --------3分
（II）（i）
=
.
由
, 则
--------5分
（ii）不妨设
,对于“伪二次函数”:
=
, (3) --------7分
由(ⅰ)中(1)
,如果有(ⅰ)的性质，则
, (4)
比较(3)( 4)两式得
，
即：
，(4) --------10分
不妨令
， (5)
设
，则
，
∴
在
上递增， ∴
.
∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,
.
∴“伪二次函数”
不具有(ⅰ)的性质. -------12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（．(本题满分12分)已知二次函数和“伪.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
