已知二次函数f=ax2+bx+c．若f=0，试判断函数f零点的个数；是否存在a,b,c∈R，使f同时满

题文

（本小题满分12分）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
（2）是否存在a,b,c∈R，使f（x）同时满足以下条件：
①对任意x∈R,f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0;
②对任意x∈R,都有0≤f（x）-x≤

（x-1）²．若存在，求出a,b,c的值；若不存在，请说
明理由。
（3）若对任意x₁、x₂∈R且x₁2，f（x₁）≠f（x₂）,试证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使f（x₀）=

[f（x₁）+f（x₂）]成立。题型：未知难度：其他题型

答案

解:（1）∵f（-1）=0,∴a-b+C=0,则b=a+c,∵⊿=b²-4ac=（a-c）²,∴当a=c时,⊿=0,
此函数f（x）有一个零点;当a≠c时,⊿>0．函数f（x）有两个零点．
（2）假设a,b,c存在,有（1）可知抛物线的对称轴为x=1,∴-

=-1,即b=2a,①
由（2）可知对任意的x∈R,都有0≤f（x）-x≤

（x-1）²,令x=1,
得0≤f（1）-1≤0,所以,f（1）=1,即a+b+c="1, " ②又因为f（x）-x≥0恒成立,
∴a>0
（b-1）²-4ac≤0 即（a-c）²≤0,∴a=c,③ 由①②③得a=C=

,b=

所以f（x）=

,经检验a,b,c的值符合条件．
（3）令g（x）=f（x）-

[f（x₁）+f（x₂）],则
g（x₁）=f（x₁）-

[f（x₁）+f（x₂）]=

[f（x₁）-f（x₂）] g（x₂）=f（x₂）-

[f（x₁）+f（x₂）]
=

{f（x₂）-f（x₁）},因为f（x₁）≠f（x₂）
所以,g（x₁）g（x₂）<0,所以g（x）=0在（x_1,x₂）内必有一个实根,
即存在x₀∈（x₁,x₂）使f（x₀）=

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知二次函数f（x）.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。