题文
已知二次函数
同时满足：①不等式
的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在
，使得不等式
成立,设数列
的前
项和
。
（1）求函数
的表达式；
（2）求数列
的通项公式；
（3）设各项均不为
的数列
中，所有满足
的整数
的个数称为这个数列
的变号数，令
（
）,求数列
的变号数. 题型：未知 难度：其他题型
答案
20．解：（Ⅰ）∵不等式
≤0的解集有且只有一个元素 ∴
解得
或
当
时，函数
在
递增，不满足条件②
当
时，函数
在（０，２）上递减，满足条件②
综上得
，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当
时，
当
≥２时
＝
＝
∴
（Ⅲ）由题设可得
∵
，
，∴
，
都满足
∵当
≥３时，
即当
≥３时，数列｛
｝递增，∵
，由
，
可知
满足
∴数列｛
｝的变号数为３.
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
