已知，(且)．过作曲线的切线，求切线方程；设在定义域上为减函数，且其导函数存在零点，求实数的值．

题文

已知

，

(

且

)．
（1）过

作曲线

的切线，求切线方程；
（2）设

在定义域上为减函数，且其导函数

存在零点，求实数

的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，
设切点为Q(x₀，y₀)，∵f′(x)＝2－x，
∴k＝f′(x₀)＝2－x₀，且y₀＝f(x₀)＝2x₀－

，
∴切线方程为y－2x₀＋

＝(2－x₀)(x－x₀)，即y＝(2－x₀)x＋

，   ……3分
∵(0,2)在切线上，代入可得x₀＝±2，……………………………5分
∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2. …………………………………7分
(2)h(x)＝2x－

x²－log_ax在(0，＋∞)上递减，
∴h′(x)＝2－x－

≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∵x>0，∴

≥2x－x²在(0，＋∞)上恒成立．
又2x－x²∈(－∞，1]，∴

≥1，∴0又∵h′(x)＝2－x－

存在零点，
即方程lna·x²－2lna·x＋1＝0有正根，
∴Δ＝4ln²a－4lna≥0，∴lna≥1或lna<0，②…………………12分
由①②知lna＝1，∴a＝e.  

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知，(且)．（1）过作曲线的切线，求切.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。