已知二次函数满足且.求的解析式.在区间上, 的图象恒在的图象上方 试确定实数的范围.

题文

已知二次函数

满足

且

.
（Ⅰ）求

的解析式.（Ⅱ）在区间

上,

的图象恒在

的图象上方 试确定实数

的范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f(x)=x²-x+1. （Ⅱ）m<-1.

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解析

 本试题主要是考查了函数的性质和函数的解析式的运用
（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,
（2）由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=

,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
那么可得。
解： (Ⅰ)设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以

,∴f(x)=x²-x+1.


(Ⅱ)由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x²-3x+1-m>0在[-1, 1]上恒成立.
设g(x)= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=

,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即1²-3×1+1-m>0,解得m<-1.

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数满足且.（Ⅰ）求的解析式.（.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。