设x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求证x2＋y2＋z2≥；设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c，方程f (x)－x＝0有两个实

题文

（12分）（1）设x、y、z

R，且x＋y＋z＝1，求证x²＋y²＋z²≥

；
（2）设二次函数f (x)＝ax²＋bx＋c（a＞0），方程f (x)－x＝0有两个实根x₁，x_2，
且满足：0＜x₁＜x₂＜

，若x

(0，x₁)。
求证：x＜f (x)＜x₁ 题型：未知 难度：其他题型

答案

见解析。

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解析

本试题主要是考查了均值不等式的运用以及二次函数中根与系数的关系的综合运用。
（1）x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
从而得证。
（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜

    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜


∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
综上可知成立。
解：（1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
∴x²＋y²＋z²≥


（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜

    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
另一方面：x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜


∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
综上可得：x＜f(x)＜x₁

考点

据考高分专家说，试题“（12分）（1）设x、y、zR，且x＋y.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。