设二次函数满足下列条件： ①当时, 的最小值为0，且恒成立； ②当时，恒成立．求的值；求的解析式；求最大的实数m，使得存在实数

题文

设二次函数

满足下列条件：
①当

时,

的最小值为0，且

恒成立；
②当

时，

恒成立．
（I）求

的值；
（Ⅱ）求

的解析式；
（Ⅲ）求最大的实数m（m>1），使得存在实数t，只要当

时，就有

成立 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) f(1)="2" ；(2) f(x)=

(x+1)²； (3) m的最大值为9.

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解析

(1)在②中令x=1,有2≤f(1)≤2,故f(1)="2"
(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上
故设此二次函数为f(x)=a(x+1)²,(a>0),∵f(1)=2,∴a=


∴f(x)=

(x+1)²
(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.
f(x+t)≤2x



(x+t+1)²≤2x

x²+(2t-2)x+t²+2t+1≤0.
令g(x)=x²+(2t-2)x+t²+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].



∴m≤1－t+2

≤1－(－4)+2

=9
t=-4时,对任意的x∈[1,9]
恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.（画图用数形结合视解答情况给分）
点评：典型题，本题综合考查“二次问题”，运用了从特殊到一般的思想方法。（3）作为存在性问题，转化成一个二次不等式在给定闭区间恒成立问题，借助于函数单调性，通过限制区间端点函数值的范围，得到不等式组，使问题得解。

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数满足下列条件： ①当时, 的最.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。