题文
已知二次函数
.
（1）若
，试判断函数
零点个数；
（2）是否存在
，使
同时满足以下条件
①对任意
，且
；
②对任意
,都有
。若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。
（3）若对任意
且
，
，试证明存在
，
使
成立。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数有两个零点。（2）当
时，
同时满足条件①、②. （3）利用零点存在性定理证明即可
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解析
（1）
当
时
，
函数
有一个零点； 3分
当
时，
，函数
有两个零点。 5分
（2）假设
存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，
∴
即
7分
由②知对
,都有
令
得
又因为
恒成立，
，即
，即
由
得
， 10分
当
时，
，
其顶点为（－1，0）满足条件①，又
对
,
都有
，满足条件②.
∴存在
，使
同时满足条件①、②. .12分
（3）令
，则
，
在
内必有一个实根。即
，
使
成立 18分
点评：①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数
的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数.（1）若，试判断函数零点个.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
