若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f

题文

若二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) f(x)＝x²－x＋1.(2) (－∞，－1)．

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解析

(1)由f(0)＝1得，c＝1.                     1分
∴f(x)＝ax²＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1－(ax²＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，∴

∴

        5分
因此，f(x)＝x²－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x²－x＋1>2x＋m，                 6分
即x²－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．   8分
∵g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)_min＝g(1)＝－m－1，                                10分
由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．          12分
点评：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即：f(x)>0恒成立





；f(x)<0恒成立





，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解

考点

据考高分专家说，试题“若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。