已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.求实数a的值组成的集合A；设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得

题文

已知f(x)=

在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=

的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）{m|m≥2，或m≤－2}.

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解析

思路分析：（Ⅰ）根据f(x)在[－1，1]上是增函数，可得到f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.转化成

(x)=x²－ax－2，二次函数问题。处理的方法较多。
（Ⅱ）由


从而可以得到x²－ax－2=0的两非零实根x₁，x₂的关系，将问题转化成
“要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立“同样将问题转化成二次函数问题。      
解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2

 ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.       ①
设

(x)=x²－ax－2，
方法一：
①





－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
方法二：
①



 或




0≤a≤1或－1≤a<0


 －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（Ⅱ）由


∵△=a²+8>0
∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，
∴

 
从而|x₁－x₂|=

=

.
∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

≤3.
要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.       ②
设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，
方法一：
②






m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
②



或




 m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
点评：中档题，本题主要利用“转化与化归思想”，将问题转化成二次函数在闭区间的最值问题，通过确定函数的最值，达到确定参数范围的目的。

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。