已知函数＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝0时，若对任意的x1∈

题文

已知函数

＝x²－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．
(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a＝0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[－8，0] ；（2）

；（3）t＝－1或

．

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解析

（1）函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：

；（2）确定值域关系即集合关系，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．（3）分类讨论，确定二次函数的值域.
试题解析：(Ⅰ)：因为函数

＝x²－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，
所以

在区间[－1，1]上是减函数，      1分
因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：


即

，        4分
解得

，故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．      5分
(Ⅱ)若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．


＝x²－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，      7分
下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．
①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3]

 [5－m，5＋2m]，
需

，解得m≥6；      9分
③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3]

 [5＋2m，5－m]，
需

，解得m≤－3；
综上，m的取值范围为

．      10分
(Ⅲ)由题意知

，可得

．
①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)－f(2)＝7－2t即t²－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)－f(2)＝7－2 t即4＝7－2t，解得t＝

；      12分
③当2＜t＜

时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
所以f(4)－f(t)＝7－2t即t²－6t＋7＝0，解得t＝

（舍去），
综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或

．          14分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。