题文
已知二次函数
.
（1）若对任意
、
，且
，都有
，求证：关于
的方程
有两个不相等的实数根且必有一个根属于
；
（2）若关于
的方程
在
上的根为
，且
，设函数
的图象的对称轴方程为
，求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）详见解析.点击查看一次函数的性质与应用知识点讲解,巩固学习
解析
（1）先构造新函数
，利用
证明方程
有两个不相等的实数根，然后利用存在定理证明方程
必有一个根属于
，即利用
来证明；（2）将
的代入方程
得到
的表达式，结合
证明
.
试题解析：（1）构造函数
，
由于函数
为二次函数，所以
，
对于二次函数
而言，
，
若
，则有
且有
，从而有
，这与
矛盾，
故
，故方程
有两个不相等，
由于
，
，
所以
，
由零点存在定理知，方程
必有一个根属于
；
（2）由题意知
，化简得
，
即
，则有
，
，
由于
，则
，故
，即
.
考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数.（1）若对任意、，且，都有.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
