题文
已知函数
.
(Ⅰ)若
求
的值域；
(Ⅱ)若存在实数
，当
恒成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当
时，
的值域为：
.当
时，
的值域为：
.当
时，
的值域为：
.（II）
.
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解析
（I）由于
的范围含有参数
，故结合抛物线的图象对
分情况进行讨论.
（II）由
恒成立得：
恒成立，
令
，
则只需
的最大值小于等于0.
由此得：
，令
则原题可转化为：存在
，使得
.这又需要
时
.接下来又对二次函数
分情况讨论，从而求出实数
的取值范围.
试题解析：（I）由题意得：
当
时，
，
∴此时
的值域为：
2分
当
时，
，
∴此时
的值域为：
4分
当
时，
，
∴此时
的值域为：
6分
（II）由
恒成立得：
恒成立，
令
，
因为抛物线的开口向上，所以
，由
恒成立知：
8分
化简得：
令
则原题可转化为：存在
，使得
即：当
，
10分
∵
，
的对称轴：
即：
时，
∴
解得：
②当
即：
时，
∴
解得：
综上：
的取值范围为：
13分
法二：也可
，
化简得：
有解.
，则
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.(Ⅰ)若求的值域；(Ⅱ)若存在.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
