题文
已知函数
满足
，对任意
都有
，且
．
（1）求函数
的解析式；
（2）是否存在实数
，使函数
在
上为减函数？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）存在实数
，
.
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解析
（1）根据
求得
；
根据对任意
，有
，确定
图像的对称轴为直线
，求得
；
利用对任意
都有
，转化成
对任意
成立，解得
.
（2）化简函数
，其定义域为
，
令
，利用复合函数的单调性，得到
求解，得
，肯定存在性.
试题解析：
（1）由
及
∴
1分
又对任意
，有
∴
图像的对称轴为直线
，则
，∴
3分
又对任意
都有
，
即
对任意
成立，
∴
，故
6分
∴
7分
（2）由（1）知
，其定义域为
8分
令
要使函数
在
上为减函数，
只需函数
在
上为增函数， 11分
由指数函数的单调性，有
，解得
13分
故存在实数
，当
时，函数
在
上为减函数 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数满足，对任意都有，且．（1）求函.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
