题文
已知函数
是偶函数。
（1）求
的值；
（2）设函数
，其中实数
。若函数
与
的图象有且只有一个交点，求实数
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
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解析
（1）根据偶函数定义
可得到关于k的方程，根据对应系数相等可解出k的值。（2）由题意分析可知将函数
与
的图象有且只有一个交点的问题 为方程
只有一个根的问题。将
整理变形并结合换元法可转化为
，在
上只有一个解的问题。因为此二次函数对称轴是变量，属于动轴定区间问题。分情况讨论，详见解析。
试题解析：解:（1）∵
由题有
对
恒成立 …2分
即
恒成立，整理得
，所以
∴
（2）由函数的定义域得
， 由于
所以
即定义域为
∵函数
与
的图象有且只有一个交点，即方程
在
上只有一解。
即：方程
在
上只有一解
令
，则
，上式可变形为
，在
上只有一个解。
当
时，
舍。
当
时，记
，其图像的对称轴为
，所以
在
上单调递减，而
。所以方程
在
上无解。
当
时，记
，其图象的对称轴
所以只需
，即
，此恒成立
∴此时
的范围为
综上所述，所求
的取值范围为
考点
据考高分专家说，试题“已知函数是偶函数。（1）求的值；（2）设.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
