题文
设函数
．
（1）求函数
在
上的值域；
（2）证明对于每一个
，在
上存在唯一的
，使得
；
（3）求
的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；（2）证明见解析；（3）当
时，为
，当
且
时，为
．
点击查看一次函数的性质与应用知识点讲解,巩固学习
解析
(1)由于
可以看作为
的二次函数，故可利用换元法借助二次函数知识求出值域；（2）这类问题的常用方法是证明
在区间
是单调的，且
或者
或
，即可得证；本题中证
时也可数学归纳法证明；（3）要求
的值，注意分类讨论，
时直接得结论
，那么求
时，只要用分组求和即可，在
时，
中除第一项外是一个公比不为1的等比数列的和，因此先求出
，同样在求
时用分组求和的方法可求得结论．
试题解析：（1）
，由
令
，
．
，
在
上单调递增，
在
上的值域为
． 4分
（2）
对于
，
有
，
，从而
，
,
,在
上单调递减,
,
在
上单调递减．
又
.
. 7分
当
时，
（注用数学归纳法证明
相应给分）
又
，即对于任意自然数
有
对于每一个
，存在唯一的
，使得
11分
（3）
．
当
时，
．
. 14分
当
且
时，
．
18分
考点
据考高分专家说，试题“设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
