已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞1-(-2)n3loga(x2-a)

题文

已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞1-(-2)n3loga(x2-a)．题型：未知难度：其他题型

答案

利用对数换底公式，原不等式左端化为
log_ax-4•logaxlogaa2+12•logaxlogaa3++n（-2）^n-1•logaxlogaan
=[1-2+4++（-2）^n-1]log_ax
=1-(-2)n3log_ax
故原不等式可化为1-(-2)n3log_ax＞1-(-2)n3log_a（x²-a）．①
当n为奇数时，1-(-2)n3＞0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．②
因为a＞1，②式等价于x＞0x2-a＞0x＞x2-a⇔x＞0|x＞ax2-x-a＜0⇔x＞a1-1+4a2＜x＜1+1+4a2
因为1-1+4a2＜0，1+1+4a2＞4a2=a，
所以，不等式②的解集为{x|a＜x＜1+1+4a2}．
当n为偶数时，1-(-2)n3＜0，不等式①等价于
log_ax＞log_a（x²-a）．③
因为a＞1，③式等价于x＞0x2-a＞0x＜x2-a⇔x＞0|x＞ax2-x-a＞0⇔x＞ax＜1-1+4a2或x＞ax＞1+1+4a2
因为1-1+4a2＜0，1+1+4a2＞4a2=a，
所以，不等式③的解集为{x|x＞1+1+4a2}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|a＜x＜1+1+4a2}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|x＞1+1+4a2}

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解析

logaxlogaa2

考点

据考高分专家说，试题“已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不.....”主要考查你对 [对数与对数运算 ]考点的理解。对数与对数运算

对数的定义：
如果a^x=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记做

，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
通常以10为底的对数叫做常用对数，记做

；
以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记做

。
由定义知负数和0没有对数。