已知a＞1，λ＞0，求证：loga＞loga+λ．

题文

已知a＞1，λ＞0，求证：log_a（a+λ）＞log_a+λ（a+2λ）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：log_a（a+λ）-log_（a+λ）（a+2λ）
=lg(a+λ)lga-lg(a+2λ)lg(a+λ)
=lg2(a+λ)-lga•lg(a+2λ)lga•lg(a+λ)
∵a＞1，λ＞0，
∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）．
∴lga•lg（a+2λ）＜[（lga+lg(a+2λ)2）]²
=[lg(a2+2aλ)2]²＜[lg(a+λ)22]²=lg²（a+λ）．
∴lg2(a+λ)-lga•lg(a+2λ)lgalg(a+λ)＞0．
∴log_a（a+λ）＞log_（a+λ）（a+2λ）．

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解析

lg(a+λ)lga

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞1，λ＞0，求证：loga（a+.....”主要考查你对 [对数与对数运算 ]考点的理解。 对数与对数运算

对数的定义：
如果a^x=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记做

，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
通常以10为底的对数叫做常用对数，记做

；
以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记做

。
由定义知负数和0没有对数。

常用对数：
以10为底的对数叫做常用对数，

。

自然对数：
以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈-2. 718 28，

。

对数的运算性质：

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
（1）

；
（2）

；
（3）

；
（4）

。

对数的恒等式：

（1）

；（2）

；
（3）

；（4）

；
（5）

。

对数的换底公式及其推论：

 

对数式的化简与求值：

(1)化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论．
(2)结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化．
(3)利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化，