求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．

题文

求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值域和单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函数，
当x=1时，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
则f(x1)f(x2)=3-x21+2 x1+3÷3-x22+2x2+3 =3-x21+2 x1 +3+x22-2x2-3=3(x22 -x21) +2 (x1 -x2)=
3(x22 -x21) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3^u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．

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解析

f(x1)f(x2)

考点

据考高分专家说，试题“求函数y=3-x2+2x+3的定义域、值.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。