对于函数f，若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f，x∈M}=M，则称区间M为函数f的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①

题文

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cosπ2x；④f（x）=e^x．其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A．①③B．①②③④C．②④D．①②③ 题型：未知 难度：其他题型

答案

①中，若f（x）=（x-1）²存在“稳定区间”，
如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
②中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数 f（x）=cosπ2x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=e^x存在“稳定区间”
则e^a+1=a，e^b+1=b
即e^x=x-1有两个解，即函数y=e^x与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=e^x与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，
即f（x）=e^x不存在“稳定区间”
故选D．

点击查看指数函数的解析式及定义（定义域、值域）知识点讲解,巩固学习

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在区间M=[a，b.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。