已知函数f=ax+loga．若a=14，求f在x∈[1，2]上的最小值；若f在x∈[2，3]上的最

题文

已知函数f（x）=a^x+log_a（x-1）（其中a＞0且a≠1）．
（1）若a=14，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；
（2）若f（x）在x∈[2，3]上的最小值为4，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵a=14＜1，
∴f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[1，2]上为减函数．…（3分）
∴f（x）在x∈[1，2]上的x=2取最小值     …（5分）
最小值为f（2）=(14)2+log14(2-1)=116…（7分）
（2）如果0＜a＜1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为减函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（3）=a³+log_a2=4，又a³＜1，log_a2＜0，
∴f（3）=4无解．…（10分）
如果a＞1，则f（x）=a^x+log_a（x-1）在x∈[2，3]上为增函数，
∴f（x）在x∈[2，3]上的最小值为f（2）=a²+log_a1=4，
∴a=2．
综合得a的值为2．…（14分）

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解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+loga（x-1.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。