函数f=4x-2x+1+3的定义域为x∈[-12，12]．设t=2x，求t的取值范围；求函数f的值域．

题文

函数f（x）=4^x-2^x+1+3的定义域为x∈[-12，12]．
（Ⅰ）设t=2^x，求t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵t=2^x在x∈[-12，12]上单调递增
∴t∈[22，2]…（4分）
（Ⅱ） 函数可化为：f（x）=g（t）=t²-2t+3 
∵g（t）在[22，1]上单减，在[1，2]上单增…（6分）
比较得g（22）＜g（2），
∴f（x）_min=g（1）=2，f（x）_max=g（2）=5-22…（11分）
∴函数的值域为[2，5-22]…（12分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=4x-2x+1+3的定义域.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。