已知函数f(x)=12x-1+12．求f的定义域；判断f在区间上的单调性，并证明．

题文

已知函数f(x)=12x-1+12．
（1）求f（x）的定义域；   
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为 f(x)=1+22x-1，
由于2^x-1＞-1，故 12x-1＜-1或 12x-1＞0
故 22x-1＞0或 22x-1＜-2，
∴f(x)=2x+12x-1的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下：
由于 f(x)=12x-1+12，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，12x-1在（0，+∞）上是减函数，
故 f(x)=12x-1+12在（0，+∞）上是减函数．

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解析

22x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12x-1+12．（1.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。