题文
设a>0，a≠1，解关于x的不等式
题型：未知 难度：其他题型
答案
当0<a<1时，原不等式的解集为{x|－
<x<－
}∪{x|
<x<
}；
当a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．．
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解析
本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．解法一 原不等式可写成
． ① ——1分
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
(Ⅰ)当0<a<1时，由①式得
x4－2x2+a2<0， ② ——3分
由于0<a<1时，判别式
△=4－4a2>0,
所以②式等价于
③
④
——5分解③式得x<－
或x>
，
解④式得－
<x<
． ——7分
所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－
<x<－
}∪{x|
<x<
}．
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑤ ——9分
由于a>1，判别式△<0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－
<x<－
}∪{x|
<x<
}；
当a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}．
解法二 原不等式可写成
． ① ——1分
(Ⅰ) 当0<a<1时，由①式得
x4－2x2＋a2<0， ② ——3分
分解因式得 (x2－1＋
)(x2－1－
)<0． ③
④
⑤
⑥⑦
——5分解由④、⑤组成的不等式组得
－
<x<－
．
或
<x<
． ——7分
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－
<x<－
}∪{x|
<x<
}；
——8分
(Ⅱ) 当a>1时，由①式得
x4－2x2＋a2>0， ⑧ ——9分
配方得 (x2－1)2＋a2－1>0， ⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a>1时，原不等式的解集为
{x|－∞<x<＋∞}． ——12分
综合得
当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|－
<x<－
}∪{x|
<x<
}；
当a>1时，原不等式的解集为 {x|－∞<x<＋∞}．
考点
据考高分专家说，试题“设a>0，a≠1，解关于x的不等式.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）指数函数的定义：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。
指数函数的解析式：
y=ax（a＞0，且a≠1）
理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a<0，比如y=(-4)x，这时对于
在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像
等函数都不是指数函数，要注意区分。
