设a>1，函数f(x)=(+)x,(1)判断函数的奇偶性;(2)求证：对于x≠0,f(x)>0.

题文

设a>1，函数f(x)=(

+

)x,
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求证：对于x≠0,f(x)>0. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(2)证明:x>0时,∵a>1a^x>1,易证f(x)>0,而x<0时,由f(x)=f(-x)>0,故对于x≠0,f(x)>0.(1)f(x)为定义域上的增函数.
(2)证明:x>0时,∵a>1a^x>1,易证f(x)>0,而x<0时,由f(x)=f(-x)>0,故对于x≠0,f(x)>0.
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解析

(1)由题意得函数f(x)=(

+

)x的定义域为x∈（-∞,0）∪（0,+∞）.
对于定义域内任意x，有
f(-x)="("

+

)(-x)
=(

 -

)x
=(

+

)x=f(x),
∴f(x)为定义域上的增函数.

考点

据考高分专家说，试题“设a>1，函数f(x)=(+)x,.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。