已知函数(是自然对数的底数).证明：对任意的实数，不等式恒成立；数列的前项和为，求证：.

题文

（本题满分12分）
已知函数

(

是自然对数的底数).
（1）证明：对任意的实数

，不等式

恒成立；
（2）数列

的前

项和为

，求证：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

略

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解析

解:（I）设




为增，
当

.


．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 
（II）解法一：由（I）可知，对任意的实数

，不等式

恒成立， 
所以

，

，即

，．．．．．．．８分


，


．．．．．．10分．


．．．．．．12分
解法二：数学归纳法（略）

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知函数(是自然对数的.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。